\(\int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^3} \, dx\) [70]

Optimal result

Integrand size = 36, antiderivative size = 243 \[ \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^3} \, dx=-\frac {21 (3 A-8 B) c^5 x}{2 a^3}-\frac {7 (3 A-8 B) c^5 \cos ^3(e+f x)}{a^3 f}-\frac {21 (3 A-8 B) c^5 \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{2 a^3 f}-\frac {a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^8}+\frac {2 a^3 (3 A-8 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{15 f (a+a \sin (e+f x))^6}-\frac {6 a^5 (3 A-8 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{5 f \left (a^2+a^2 \sin (e+f x)\right )^4}-\frac {42 a^5 (3 A-8 B) c^5 \cos ^5(e+f x)}{5 f \left (a^4+a^4 \sin (e+f x)\right )^2} \]

[Out]

-21/2*(3*A-8*B)*c^5*x/a^3-7*(3*A-8*B)*c^5*cos(f*x+e)^3/a^3/f-21/2*(3*A-8*B)*c^5*cos(f*x+e)*sin(f*x+e)/a^3/f-1/
5*a^5*(A-B)*c^5*cos(f*x+e)^11/f/(a+a*sin(f*x+e))^8+2/15*a^3*(3*A-8*B)*c^5*cos(f*x+e)^9/f/(a+a*sin(f*x+e))^6-6/
5*a^5*(3*A-8*B)*c^5*cos(f*x+e)^7/f/(a^2+a^2*sin(f*x+e))^4-42/5*a^5*(3*A-8*B)*c^5*cos(f*x+e)^5/f/(a^4+a^4*sin(f
*x+e))^2

Rubi [A] (verified)

Time = 0.29 (sec) , antiderivative size = 243, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 6, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.167, Rules used = {3046, 2938, 2759, 2761, 2715, 8} \[ \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^3} \, dx=-\frac {a^5 c^5 (A-B) \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a \sin (e+f x)+a)^8}-\frac {7 c^5 (3 A-8 B) \cos ^3(e+f x)}{a^3 f}+\frac {2 a^3 c^5 (3 A-8 B) \cos ^9(e+f x)}{15 f (a \sin (e+f x)+a)^6}-\frac {21 c^5 (3 A-8 B) \sin (e+f x) \cos (e+f x)}{2 a^3 f}-\frac {21 c^5 x (3 A-8 B)}{2 a^3}-\frac {42 a^5 c^5 (3 A-8 B) \cos ^5(e+f x)}{5 f \left (a^4 \sin (e+f x)+a^4\right )^2}-\frac {6 a^5 c^5 (3 A-8 B) \cos ^7(e+f x)}{5 f \left (a^2 \sin (e+f x)+a^2\right )^4} \]

[In]

Int[((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^5)/(a + a*Sin[e + f*x])^3,x]

[Out]

(-21*(3*A - 8*B)*c^5*x)/(2*a^3) - (7*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x]^3)/(a^3*f) - (21*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x
]*Sin[e + f*x])/(2*a^3*f) - (a^5*(A - B)*c^5*Cos[e + f*x]^11)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^8) + (2*a^3*(3*A - 8*B
)*c^5*Cos[e + f*x]^9)/(15*f*(a + a*Sin[e + f*x])^6) - (6*a^5*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x]^7)/(5*f*(a^2 + a^2*S
in[e + f*x])^4) - (42*a^5*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(a^4 + a^4*Sin[e + f*x])^2)

Rule 8

Int[a_, x_Symbol] :> Simp[a*x, x] /; FreeQ[a, x]

Rule 2715

Int[((b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*Cos[c + d*x]*((b*Sin[c + d*x])^(n - 1)/(d*n))
, x] + Dist[b^2*((n - 1)/n), Int[(b*Sin[c + d*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && GtQ[n, 1] && Integ
erQ[2*n]

Rule 2759

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[2*g*(g
*Cos[e + f*x])^(p - 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(2*m + p + 1))), x] + Dist[g^2*((p - 1)/(b^2*(2*m +
p + 1))), Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && Eq
Q[a^2 - b^2, 0] && LeQ[m, -2] && GtQ[p, 1] && NeQ[2*m + p + 1, 0] &&  !ILtQ[m + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*
p]

Rule 2761

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[g*((g*Cos[e
+ f*x])^(p - 1)/(b*f*(p - 1))), x] + Dist[g^2/a, Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g
}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[p, 1] && IntegerQ[2*p]

Rule 2938

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
+ (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(a*f*g*(2*m + p
+ 1))), x] + Dist[(a*d*m + b*c*(m + p + 1))/(a*b*(2*m + p + 1)), Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^
(m + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && (LtQ[m, -1] || ILtQ[Simplify[
m + p], 0]) && NeQ[2*m + p + 1, 0]

Rule 3046

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_) + (d_.)*sin[(e_
.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[a^m*c^m, Int[Cos[e + f*x]^(2*m)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - m)*(A + B
*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && I
ntegerQ[m] &&  !(IntegerQ[n] && ((LtQ[m, 0] && GtQ[n, 0]) || LtQ[0, n, m] || LtQ[m, n, 0]))

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \left (a^5 c^5\right ) \int \frac {\cos ^{10}(e+f x) (A+B \sin (e+f x))}{(a+a \sin (e+f x))^8} \, dx \\ & = -\frac {a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^8}-\frac {1}{5} \left (a^4 (3 A-8 B) c^5\right ) \int \frac {\cos ^{10}(e+f x)}{(a+a \sin (e+f x))^7} \, dx \\ & = -\frac {a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^8}+\frac {2 a^3 (3 A-8 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{15 f (a+a \sin (e+f x))^6}+\frac {1}{5} \left (3 a^2 (3 A-8 B) c^5\right ) \int \frac {\cos ^8(e+f x)}{(a+a \sin (e+f x))^5} \, dx \\ & = -\frac {a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^8}+\frac {2 a^3 (3 A-8 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{15 f (a+a \sin (e+f x))^6}-\frac {6 a (3 A-8 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^4}-\frac {1}{5} \left (21 (3 A-8 B) c^5\right ) \int \frac {\cos ^6(e+f x)}{(a+a \sin (e+f x))^3} \, dx \\ & = -\frac {a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^8}+\frac {2 a^3 (3 A-8 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{15 f (a+a \sin (e+f x))^6}-\frac {6 a (3 A-8 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^4}-\frac {42 (3 A-8 B) c^5 \cos ^5(e+f x)}{5 a f (a+a \sin (e+f x))^2}-\frac {\left (21 (3 A-8 B) c^5\right ) \int \frac {\cos ^4(e+f x)}{a+a \sin (e+f x)} \, dx}{a^2} \\ & = -\frac {7 (3 A-8 B) c^5 \cos ^3(e+f x)}{a^3 f}-\frac {a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^8}+\frac {2 a^3 (3 A-8 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{15 f (a+a \sin (e+f x))^6}-\frac {6 a (3 A-8 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^4}-\frac {42 (3 A-8 B) c^5 \cos ^5(e+f x)}{5 a f (a+a \sin (e+f x))^2}-\frac {\left (21 (3 A-8 B) c^5\right ) \int \cos ^2(e+f x) \, dx}{a^3} \\ & = -\frac {7 (3 A-8 B) c^5 \cos ^3(e+f x)}{a^3 f}-\frac {21 (3 A-8 B) c^5 \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{2 a^3 f}-\frac {a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^8}+\frac {2 a^3 (3 A-8 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{15 f (a+a \sin (e+f x))^6}-\frac {6 a (3 A-8 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^4}-\frac {42 (3 A-8 B) c^5 \cos ^5(e+f x)}{5 a f (a+a \sin (e+f x))^2}-\frac {\left (21 (3 A-8 B) c^5\right ) \int 1 \, dx}{2 a^3} \\ & = -\frac {21 (3 A-8 B) c^5 x}{2 a^3}-\frac {7 (3 A-8 B) c^5 \cos ^3(e+f x)}{a^3 f}-\frac {21 (3 A-8 B) c^5 \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{2 a^3 f}-\frac {a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^8}+\frac {2 a^3 (3 A-8 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{15 f (a+a \sin (e+f x))^6}-\frac {6 a (3 A-8 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^4}-\frac {42 (3 A-8 B) c^5 \cos ^5(e+f x)}{5 a f (a+a \sin (e+f x))^2} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 12.08 (sec) , antiderivative size = 388, normalized size of antiderivative = 1.60 \[ \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^3} \, dx=\frac {\left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) (c-c \sin (e+f x))^5 \left (768 (A-B) \sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )-384 (A-B) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )-128 (21 A-31 B) \sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^2+64 (21 A-31 B) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^3+128 (54 A-119 B) \sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^4-630 (3 A-8 B) (e+f x) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^5-15 (32 A-127 B) \cos (e+f x) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^5-5 B \cos (3 (e+f x)) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^5+15 (A-8 B) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^5 \sin (2 (e+f x))\right )}{60 a^3 f \left (\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )-\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^{10} (1+\sin (e+f x))^3} \]

[In]

Integrate[((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^5)/(a + a*Sin[e + f*x])^3,x]

[Out]

((Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*(c - c*Sin[e + f*x])^5*(768*(A - B)*Sin[(e + f*x)/2] - 384*(A - B)*(Cos
[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2]) - 128*(21*A - 31*B)*Sin[(e + f*x)/2]*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^2
+ 64*(21*A - 31*B)*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^3 + 128*(54*A - 119*B)*Sin[(e + f*x)/2]*(Cos[(e + f*
x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^4 - 630*(3*A - 8*B)*(e + f*x)*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^5 - 15*(32*A - 1
27*B)*Cos[e + f*x]*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^5 - 5*B*Cos[3*(e + f*x)]*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e +
f*x)/2])^5 + 15*(A - 8*B)*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^5*Sin[2*(e + f*x)]))/(60*a^3*f*(Cos[(e + f*x)
/2] - Sin[(e + f*x)/2])^10*(1 + Sin[e + f*x])^3)

Maple [A] (verified)

Time = 1.41 (sec) , antiderivative size = 240, normalized size of antiderivative = 0.99

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {2 c^{5} \left (-\frac {\left (\frac {A}{2}-4 B \right ) \left (\tan ^{5}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (8 A -31 B \right ) \left (\tan ^{4}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (16 A -64 B \right ) \left (\tan ^{2}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (-\frac {A}{2}+4 B \right ) \tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+8 A -\frac {95 B}{3}}{\left (1+\tan ^{2}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )^{3}}-\frac {21 \left (3 A -8 B \right ) \arctan \left (\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )}{2}-\frac {-256 A +256 B}{4 \left (\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+1\right )^{4}}-\frac {32 A -96 B}{2 \left (\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+1\right )^{2}}-\frac {32 A -80 B}{\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+1}-\frac {96 A -32 B}{3 \left (\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+1\right )^{3}}-\frac {128 A -128 B}{5 \left (\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+1\right )^{5}}\right )}{f \,a^{3}}\)	\(240\)
default	\(\frac {2 c^{5} \left (-\frac {\left (\frac {A}{2}-4 B \right ) \left (\tan ^{5}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (8 A -31 B \right ) \left (\tan ^{4}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (16 A -64 B \right ) \left (\tan ^{2}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )+\left (-\frac {A}{2}+4 B \right ) \tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+8 A -\frac {95 B}{3}}{\left (1+\tan ^{2}\left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )^{3}}-\frac {21 \left (3 A -8 B \right ) \arctan \left (\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )\right )}{2}-\frac {-256 A +256 B}{4 \left (\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+1\right )^{4}}-\frac {32 A -96 B}{2 \left (\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+1\right )^{2}}-\frac {32 A -80 B}{\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+1}-\frac {96 A -32 B}{3 \left (\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+1\right )^{3}}-\frac {128 A -128 B}{5 \left (\tan \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+1\right )^{5}}\right )}{f \,a^{3}}\)	\(240\)
parallelrisch	\(-\frac {63 c^{5} \left (\left (\frac {19297}{378} B -\frac {1223}{63} A -10 f x A +\frac {80}{3} f x B \right ) \cos \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+\left (-\frac {40}{3} f x B +5 f x A -\frac {2543}{378} B +\frac {341}{126} A \right ) \cos \left (\frac {3 f x}{2}+\frac {3 e}{2}\right )+\left (-\frac {39439}{3780} B +\frac {2519}{630} A +f x A -\frac {8}{3} f x B \right ) \cos \left (\frac {5 f x}{2}+\frac {5 e}{2}\right )+\left (-10 f x A +\frac {80}{3} f x B -\frac {761}{63} A +\frac {12367}{378} B \right ) \sin \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+\left (\frac {40}{3} f x B -5 f x A -\frac {1643}{126} A +\frac {13289}{378} B \right ) \sin \left (\frac {3 f x}{2}+\frac {3 e}{2}\right )+\left (-\frac {107}{126} A +f x A -\frac {8}{3} f x B +\frac {1555}{756} B \right ) \sin \left (\frac {5 f x}{2}+\frac {5 e}{2}\right )+\left (-\frac {271 B}{756}+\frac {3 A}{28}\right ) \cos \left (\frac {7 f x}{2}+\frac {7 e}{2}\right )+\left (-\frac {19 B}{756}+\frac {A}{252}\right ) \cos \left (\frac {9 f x}{2}+\frac {9 e}{2}\right )+\left (-\frac {271 B}{756}+\frac {3 A}{28}\right ) \sin \left (\frac {7 f x}{2}+\frac {7 e}{2}\right )+\left (-\frac {A}{252}+\frac {19 B}{756}\right ) \sin \left (\frac {9 f x}{2}+\frac {9 e}{2}\right )+\frac {B \left (\sin \left (\frac {11 f x}{2}+\frac {11 e}{2}\right )+\cos \left (\frac {11 f x}{2}+\frac {11 e}{2}\right )\right )}{756}\right )}{2 f \,a^{3} \left (-10 \cos \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+5 \cos \left (\frac {3 f x}{2}+\frac {3 e}{2}\right )-5 \sin \left (\frac {3 f x}{2}+\frac {3 e}{2}\right )-10 \sin \left (\frac {f x}{2}+\frac {e}{2}\right )+\sin \left (\frac {5 f x}{2}+\frac {5 e}{2}\right )+\cos \left (\frac {5 f x}{2}+\frac {5 e}{2}\right )\right )}\)	\(328\)
risch	\(-\frac {63 c^{5} x A}{2 a^{3}}+\frac {84 c^{5} x B}{a^{3}}-\frac {B \,c^{5} {\mathrm e}^{3 i \left (f x +e \right )}}{24 a^{3} f}-\frac {i c^{5} {\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )} A}{8 a^{3} f}+\frac {i c^{5} {\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )} B}{a^{3} f}-\frac {4 c^{5} {\mathrm e}^{i \left (f x +e \right )} A}{a^{3} f}+\frac {127 c^{5} {\mathrm e}^{i \left (f x +e \right )} B}{8 a^{3} f}-\frac {4 c^{5} {\mathrm e}^{-i \left (f x +e \right )} A}{a^{3} f}+\frac {127 c^{5} {\mathrm e}^{-i \left (f x +e \right )} B}{8 a^{3} f}+\frac {i c^{5} {\mathrm e}^{-2 i \left (f x +e \right )} A}{8 a^{3} f}-\frac {i c^{5} {\mathrm e}^{-2 i \left (f x +e \right )} B}{a^{3} f}-\frac {B \,c^{5} {\mathrm e}^{-3 i \left (f x +e \right )}}{24 a^{3} f}-\frac {32 \left (-315 A \,c^{5} {\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )}+225 i A \,c^{5} {\mathrm e}^{3 i \left (f x +e \right )}-195 i A \,c^{5} {\mathrm e}^{i \left (f x +e \right )}+75 A \,c^{5} {\mathrm e}^{4 i \left (f x +e \right )}+695 B \,c^{5} {\mathrm e}^{2 i \left (f x +e \right )}-495 i B \,c^{5} {\mathrm e}^{3 i \left (f x +e \right )}+445 i B \,c^{5} {\mathrm e}^{i \left (f x +e \right )}-150 B \,c^{5} {\mathrm e}^{4 i \left (f x +e \right )}+54 A \,c^{5}-119 B \,c^{5}\right )}{15 f \,a^{3} \left ({\mathrm e}^{i \left (f x +e \right )}+i\right )^{5}}\)	\(395\)
norman	\(\text {Expression too large to display}\)	\(1038\)

[In]

int((A+B*sin(f*x+e))*(c-c*sin(f*x+e))^5/(a+a*sin(f*x+e))^3,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

2/f*c^5/a^3*(-((1/2*A-4*B)*tan(1/2*f*x+1/2*e)^5+(8*A-31*B)*tan(1/2*f*x+1/2*e)^4+(16*A-64*B)*tan(1/2*f*x+1/2*e)
^2+(-1/2*A+4*B)*tan(1/2*f*x+1/2*e)+8*A-95/3*B)/(1+tan(1/2*f*x+1/2*e)^2)^3-21/2*(3*A-8*B)*arctan(tan(1/2*f*x+1/
2*e))-1/4*(-256*A+256*B)/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^4-1/2*(32*A-96*B)/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^2-(32*A-80*B)/(tan(1/
2*f*x+1/2*e)+1)-1/3*(96*A-32*B)/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^3-1/5*(128*A-128*B)/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^5)

Fricas [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.27 (sec) , antiderivative size = 429, normalized size of antiderivative = 1.77 \[ \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^3} \, dx=-\frac {10 \, B c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{6} + 15 \, {\left (A - 6 \, B\right )} c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{5} + 10 \, {\left (21 \, A - 74 \, B\right )} c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{4} - 1260 \, {\left (3 \, A - 8 \, B\right )} c^{5} f x - 192 \, {\left (A - B\right )} c^{5} + {\left (315 \, {\left (3 \, A - 8 \, B\right )} c^{5} f x + {\left (2373 \, A - 6128 \, B\right )} c^{5}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{3} + {\left (945 \, {\left (3 \, A - 8 \, B\right )} c^{5} f x - 2 \, {\left (753 \, A - 2248 \, B\right )} c^{5}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} - 6 \, {\left (105 \, {\left (3 \, A - 8 \, B\right )} c^{5} f x + 2 \, {\left (323 \, A - 848 \, B\right )} c^{5}\right )} \cos \left (f x + e\right ) + {\left (10 \, B c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{5} - 5 \, {\left (3 \, A - 20 \, B\right )} c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{4} + 5 \, {\left (39 \, A - 128 \, B\right )} c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{3} - 1260 \, {\left (3 \, A - 8 \, B\right )} c^{5} f x + 192 \, {\left (A - B\right )} c^{5} + {\left (315 \, {\left (3 \, A - 8 \, B\right )} c^{5} f x - 2 \, {\left (1089 \, A - 2744 \, B\right )} c^{5}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} - 6 \, {\left (105 \, {\left (3 \, A - 8 \, B\right )} c^{5} f x + 2 \, {\left (307 \, A - 832 \, B\right )} c^{5}\right )} \cos \left (f x + e\right )\right )} \sin \left (f x + e\right )}{30 \, {\left (a^{3} f \cos \left (f x + e\right )^{3} + 3 \, a^{3} f \cos \left (f x + e\right )^{2} - 2 \, a^{3} f \cos \left (f x + e\right ) - 4 \, a^{3} f + {\left (a^{3} f \cos \left (f x + e\right )^{2} - 2 \, a^{3} f \cos \left (f x + e\right ) - 4 \, a^{3} f\right )} \sin \left (f x + e\right )\right )}} \]

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c-c*sin(f*x+e))^5/(a+a*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/30*(10*B*c^5*cos(f*x + e)^6 + 15*(A - 6*B)*c^5*cos(f*x + e)^5 + 10*(21*A - 74*B)*c^5*cos(f*x + e)^4 - 1260*
(3*A - 8*B)*c^5*f*x - 192*(A - B)*c^5 + (315*(3*A - 8*B)*c^5*f*x + (2373*A - 6128*B)*c^5)*cos(f*x + e)^3 + (94
5*(3*A - 8*B)*c^5*f*x - 2*(753*A - 2248*B)*c^5)*cos(f*x + e)^2 - 6*(105*(3*A - 8*B)*c^5*f*x + 2*(323*A - 848*B
)*c^5)*cos(f*x + e) + (10*B*c^5*cos(f*x + e)^5 - 5*(3*A - 20*B)*c^5*cos(f*x + e)^4 + 5*(39*A - 128*B)*c^5*cos(
f*x + e)^3 - 1260*(3*A - 8*B)*c^5*f*x + 192*(A - B)*c^5 + (315*(3*A - 8*B)*c^5*f*x - 2*(1089*A - 2744*B)*c^5)*
cos(f*x + e)^2 - 6*(105*(3*A - 8*B)*c^5*f*x + 2*(307*A - 832*B)*c^5)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))/(a^3*f*cos(f*
x + e)^3 + 3*a^3*f*cos(f*x + e)^2 - 2*a^3*f*cos(f*x + e) - 4*a^3*f + (a^3*f*cos(f*x + e)^2 - 2*a^3*f*cos(f*x +
e) - 4*a^3*f)*sin(f*x + e))

Sympy [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 10608 vs. \(2 (228) = 456\).

Time = 37.88 (sec) , antiderivative size = 10608, normalized size of antiderivative = 43.65 \[ \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c-c*sin(f*x+e))**5/(a+a*sin(f*x+e))**3,x)

[Out]

Piecewise((-945*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**11/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)*
*10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380
*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*t
an(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 4725*A*c**5*f
*x*tan(e/2 + f*x/2)**10/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390
*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 12285*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**9/
(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*
f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/
2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 23625*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**8/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x
/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 +
1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**
3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2) + 30*a**3*f) - 35910*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**7/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan
(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*
x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4
+ 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) -
43470*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**6/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*
a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*ta
n(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f
*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 43470*A*c**5*f*x*tan(e/
2 + f*x/2)**5/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)*
*9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380
*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*ta
n(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 35910*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**4/(30*a**3*f
*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*
a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 23625*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**3/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 +
150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*
f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/
2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
+ 30*a**3*f) - 12285*A*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**2/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x
/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 +
1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3
*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 4725*A*c*
*5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390
*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 945*A*c**5*f*x/(30*a**3*f*tan(e/2 + f
*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8
+ 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a
**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e
/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 1950*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**10/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e
/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/
2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 +
750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 9
270*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**9/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*
tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**
3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 24780*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)*
*8/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a*
*3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan
(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x
/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 42540*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**7/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/
2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1
140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3
*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2) + 30*a**3*f) - 66936*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**6/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)*
*7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750
*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 6996
0*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**5/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*ta
n(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f
*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3
+ 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 70548*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**4
/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3
*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e
/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2
)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 49620*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**3/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 114
0*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f
*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2) + 30*a**3*f) - 29418*A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**2/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7
+ 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a
**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 12930*
A*c**5*tan(e/2 + f*x/2)/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390
*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) - 2976*A*c**5/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/
2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1
140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3
*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2) + 30*a**3*f) + 2520*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**11/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(
e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x
/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 +
750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) +
12600*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**10/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*
a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*ta
n(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f
*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) + 32760*B*c**5*f*x*tan(e/
2 + f*x/2)**9/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)*
*9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380
*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*ta
n(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) + 63000*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**8/(30*a**3*f
*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*
a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) + 95760*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**7/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 +
150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*
f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/
2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
+ 30*a**3*f) + 115920*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**6/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*
x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 +
1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**
3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) + 115920*B
*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**5/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*t
an(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3
+ 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) + 95760*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/
2)**4/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750
*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*
tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) + 63000*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**3/(30*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 11
40*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*t
an(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) + 32760*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**2/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3
*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/
2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/
2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**
3*f) + 12600*B*c**5*f*x*tan(e/2 + f*x/2)/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 3
90*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f
*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) + 2520*B*c**5*f*x/(30*
a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*ta
n(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2
+ 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) + 5040*B*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**10/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11
+ 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**
3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(
e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2
) + 30*a**3*f) + 25140*B*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**9/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2
)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 13
80*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f
*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) + 64180*B*c**
5*tan(e/2 + f*x/2)**8/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**
6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a
**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) + 116360*B*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**7/(30*a
**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan
(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f
*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 +
150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) + 173416*B*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**6/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11
+ 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**
3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(
e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2
) + 30*a**3*f) + 190720*B*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**5/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/
2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1
380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*
f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) + 184448*B*c
**5*tan(e/2 + f*x/2)**4/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390
*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) + 133720*B*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**3/(30
*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*t
an(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2
+ 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) + 77768*B*c**5*tan(e/2 + f*x/2)**2/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11
+ 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a*
*3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan
(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/
2) + 30*a**3*f) + 34540*B*c**5*tan(e/2 + f*x/2)/(30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)*
*10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380
*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*t
an(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f) + 7916*B*c**5/(
30*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**11 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**10 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**9 + 750*a**3*f
*tan(e/2 + f*x/2)**8 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 1380*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 1380*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**5 + 1140*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 750*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 390*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)*
*2 + 150*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 30*a**3*f), Ne(f, 0)), (x*(A + B*sin(e))*(-c*sin(e) + c)**5/(a*sin(e) + a)*
*3, True))

Maxima [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 3282 vs. \(2 (231) = 462\).

Time = 0.38 (sec) , antiderivative size = 3282, normalized size of antiderivative = 13.51 \[ \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c-c*sin(f*x+e))^5/(a+a*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/15*(B*c^5*((2375*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 5347*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 9230*sin(f*x +
e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 12622*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 13340*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) +
1)^5 + 11684*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 8050*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7 + 4370*sin(f*x + e
)^8/(cos(f*x + e) + 1)^8 + 1725*sin(f*x + e)^9/(cos(f*x + e) + 1)^9 + 345*sin(f*x + e)^10/(cos(f*x + e) + 1)^1
0 + 544)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 13*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 25*a^3*si
n(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 38*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 46*a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*
x + e) + 1)^5 + 46*a^3*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 38*a^3*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7 + 25*a
^3*sin(f*x + e)^8/(cos(f*x + e) + 1)^8 + 13*a^3*sin(f*x + e)^9/(cos(f*x + e) + 1)^9 + 5*a^3*sin(f*x + e)^10/(c
os(f*x + e) + 1)^10 + a^3*sin(f*x + e)^11/(cos(f*x + e) + 1)^11) + 345*arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))
/a^3) - A*c^5*((1325*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 2673*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 3805*sin(f*x
+ e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 4329*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 3575*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) +
1)^5 + 2275*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 975*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7 + 195*sin(f*x + e)^8
/(cos(f*x + e) + 1)^8 + 304)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 12*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e
) + 1)^2 + 20*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 26*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 26*a^3*si
n(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 20*a^3*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 12*a^3*sin(f*x + e)^7/(cos(f*
x + e) + 1)^7 + 5*a^3*sin(f*x + e)^8/(cos(f*x + e) + 1)^8 + a^3*sin(f*x + e)^9/(cos(f*x + e) + 1)^9) + 195*arc
tan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^3) + 5*B*c^5*((1325*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 2673*sin(f*x + e)
^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 3805*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 4329*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4
+ 3575*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 2275*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 975*sin(f*x + e)^7/(co
s(f*x + e) + 1)^7 + 195*sin(f*x + e)^8/(cos(f*x + e) + 1)^8 + 304)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1
) + 12*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 20*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 26*a^3*sin(f*x +
e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 26*a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 20*a^3*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e)
+ 1)^6 + 12*a^3*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7 + 5*a^3*sin(f*x + e)^8/(cos(f*x + e) + 1)^8 + a^3*sin(f*x
+ e)^9/(cos(f*x + e) + 1)^9) + 195*arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^3) - 30*A*c^5*((105*sin(f*x + e)/
(cos(f*x + e) + 1) + 189*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 200*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 160*s
in(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 75*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 15*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e)
+ 1)^6 + 24)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 11*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 15*a^
3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 15*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 11*a^3*sin(f*x + e)^5/(co
s(f*x + e) + 1)^5 + 5*a^3*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + a^3*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7) + 15*
arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^3) + 60*B*c^5*((105*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 189*sin(f*x +
e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 200*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 160*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4
+ 75*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 15*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 24)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x +
e)/(cos(f*x + e) + 1) + 11*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 15*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)
^3 + 15*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 11*a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 5*a^3*sin(f*x +
e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + a^3*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7) + 15*arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) +
1))/a^3) - 20*A*c^5*((95*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 145*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 75*sin(f
*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 15*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 22)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f
*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 5*a^3
*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) + 15*arctan(sin(f*x + e)/(cos(
f*x + e) + 1))/a^3) + 20*B*c^5*((95*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 145*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2
+ 75*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 15*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 22)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x +
e)/(cos(f*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)
^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) + 15*arctan(sin(f*x
+ e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^3) - 2*A*c^5*(20*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 40*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e)
+ 1)^2 + 30*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 15*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 7)/(a^3 + 5*a^3*sin
(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e
) + 1)^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) - 40*A*c^5*(5*
sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 10*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 1)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f
*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 5*a^3
*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) + 20*B*c^5*(5*sin(f*x + e)/(co
s(f*x + e) + 1) + 10*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 1)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 1
0*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)^4/
(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) + 30*A*c^5*(5*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1)
+ 5*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 5*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 1)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)
/(cos(f*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3
+ 5*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) - 6*B*c^5*(5*sin(f*x +
e)/(cos(f*x + e) + 1) + 5*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 5*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 1)/(a^
3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3
/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5))/
f

Giac [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.51 (sec) , antiderivative size = 357, normalized size of antiderivative = 1.47 \[ \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^3} \, dx=-\frac {\frac {315 \, {\left (3 \, A c^{5} - 8 \, B c^{5}\right )} {\left (f x + e\right )}}{a^{3}} + \frac {10 \, {\left (3 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{5} - 24 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{5} + 48 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{4} - 186 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{4} + 96 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} - 384 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} - 3 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) + 24 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) + 48 \, A c^{5} - 190 \, B c^{5}\right )}}{{\left (\tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} + 1\right )}^{3} a^{3}} + \frac {64 \, {\left (30 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{4} - 75 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{4} + 135 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{3} - 345 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{3} + 255 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} - 595 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} + 165 \, A c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) - 395 \, B c^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) + 39 \, A c^{5} - 94 \, B c^{5}\right )}}{a^{3} {\left (\tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) + 1\right )}^{5}}}{30 \, f} \]

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c-c*sin(f*x+e))^5/(a+a*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/30*(315*(3*A*c^5 - 8*B*c^5)*(f*x + e)/a^3 + 10*(3*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^5 - 24*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2
*e)^5 + 48*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 186*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 + 96*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 -
384*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 3*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 24*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 48*A*c^5 -
190*B*c^5)/((tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 1)^3*a^3) + 64*(30*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 75*B*c^5*tan(1/2*f*x +
1/2*e)^4 + 135*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 345*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 255*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*
e)^2 - 595*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 165*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 395*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 39
*A*c^5 - 94*B*c^5)/(a^3*(tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)^5))/f

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 15.07 (sec) , antiderivative size = 501, normalized size of antiderivative = 2.06 \[ \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^3} \, dx=-\frac {\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )\,\left (431\,A\,c^5-\frac {3454\,B\,c^5}{3}\right )+\frac {496\,A\,c^5}{5}-\frac {3958\,B\,c^5}{15}+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^{10}\,\left (65\,A\,c^5-168\,B\,c^5\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^9\,\left (309\,A\,c^5-838\,B\,c^5\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^8\,\left (826\,A\,c^5-\frac {6418\,B\,c^5}{3}\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^7\,\left (1418\,A\,c^5-\frac {11636\,B\,c^5}{3}\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^3\,\left (1654\,A\,c^5-\frac {13372\,B\,c^5}{3}\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^5\,\left (2332\,A\,c^5-\frac {19072\,B\,c^5}{3}\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^2\,\left (\frac {4903\,A\,c^5}{5}-\frac {38884\,B\,c^5}{15}\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^6\,\left (\frac {11156\,A\,c^5}{5}-\frac {86708\,B\,c^5}{15}\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^4\,\left (\frac {11758\,A\,c^5}{5}-\frac {92224\,B\,c^5}{15}\right )}{f\,\left (a^3\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^{11}+5\,a^3\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^{10}+13\,a^3\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^9+25\,a^3\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^8+38\,a^3\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^7+46\,a^3\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^6+46\,a^3\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^5+38\,a^3\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^4+25\,a^3\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^3+13\,a^3\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^2+5\,a^3\,\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )+a^3\right )}-\frac {21\,c^5\,\mathrm {atan}\left (\frac {21\,c^5\,\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )\,\left (3\,A-8\,B\right )}{63\,A\,c^5-168\,B\,c^5}\right )\,\left (3\,A-8\,B\right )}{a^3\,f} \]

[In]

int(((A + B*sin(e + f*x))*(c - c*sin(e + f*x))^5)/(a + a*sin(e + f*x))^3,x)

[Out]

- (tan(e/2 + (f*x)/2)*(431*A*c^5 - (3454*B*c^5)/3) + (496*A*c^5)/5 - (3958*B*c^5)/15 + tan(e/2 + (f*x)/2)^10*(
65*A*c^5 - 168*B*c^5) + tan(e/2 + (f*x)/2)^9*(309*A*c^5 - 838*B*c^5) + tan(e/2 + (f*x)/2)^8*(826*A*c^5 - (6418
*B*c^5)/3) + tan(e/2 + (f*x)/2)^7*(1418*A*c^5 - (11636*B*c^5)/3) + tan(e/2 + (f*x)/2)^3*(1654*A*c^5 - (13372*B
*c^5)/3) + tan(e/2 + (f*x)/2)^5*(2332*A*c^5 - (19072*B*c^5)/3) + tan(e/2 + (f*x)/2)^2*((4903*A*c^5)/5 - (38884
*B*c^5)/15) + tan(e/2 + (f*x)/2)^6*((11156*A*c^5)/5 - (86708*B*c^5)/15) + tan(e/2 + (f*x)/2)^4*((11758*A*c^5)/
5 - (92224*B*c^5)/15))/(f*(13*a^3*tan(e/2 + (f*x)/2)^2 + 25*a^3*tan(e/2 + (f*x)/2)^3 + 38*a^3*tan(e/2 + (f*x)/
2)^4 + 46*a^3*tan(e/2 + (f*x)/2)^5 + 46*a^3*tan(e/2 + (f*x)/2)^6 + 38*a^3*tan(e/2 + (f*x)/2)^7 + 25*a^3*tan(e/
2 + (f*x)/2)^8 + 13*a^3*tan(e/2 + (f*x)/2)^9 + 5*a^3*tan(e/2 + (f*x)/2)^10 + a^3*tan(e/2 + (f*x)/2)^11 + a^3 +
5*a^3*tan(e/2 + (f*x)/2))) - (21*c^5*atan((21*c^5*tan(e/2 + (f*x)/2)*(3*A - 8*B))/(63*A*c^5 - 168*B*c^5))*(3*
A - 8*B))/(a^3*f)